Sandhedstabel

Hvad er sandhedstabellen:

Sandhedstabellen eller sandhedstabellen er et matematisk værktøj, der i vid udstrækning anvendes inden for logisk ræsonnement. Dens formål er at verificere den logiske validitet af et sammensat proposition (argument dannet af to eller flere simple propositioner).

Eksempler på sammensatte forslag:

John er høj og Maria er kort.
Pedro er høj eller Joana er blond.
Hvis Pedro er høj, så er Joana rød.

Hver af de ovenstående propositioner er dannet af to enkle propositioner, der er forbundet med forbindelserne med fed skrift. Hver enkelt proposition kan enten være sand eller falsk, og dette vil direkte betyde den logiske værdi af sammensatte proposition. Hvis vi vedtager sætningen " John er høj og Mary er lav ", vil de mulige værdiansættelser af denne erklæring være:

Hvis John er høj, og Mary er lav, er sætningen "John høj og Mary er lav" SAND.
Hvis John er høj og Mary ikke er lav, er sætningen "John høj og Mary er lav", FALSK.
Hvis John ikke er høj og Mary er lav, er sætningen "John høj og Mary er lav", FALSK.
Hvis John ikke er høj, og Mary ikke er lav, er sætningen "John høj og Mary er lav", FALSK.

Sandhedstabellen skematiserer denne samme begrundelse (se Konjunktionsemnet nedenfor) mere direkte. Derudover kan sandtabellreglerne anvendes uanset antallet af propositioner i sætningen .

Hvordan virker det?

Først drejer du spørgsmålsforslagene ind i symboler, der bruges i logikken. Den universelt anvendte symbolliste er:

symbol	Logisk drift	hvilket betyder	eksempel
p	.	Forslag 1	p = john er høj.
q	.	Forslag 2	q = Mary er lav.
~	benægtelse	gør det ikke	Hvis John er høj, er " ~ p " FALSK.
^	sammenholdt	og	p ^ q = John er høj og Mary er lav.
v	disjunktion	eller	p v q = John er høj eller Mary er lav.
→	betinget	i bekræftende fald	p → q = Hvis John er høj, er Mary lav.
↔	Biconditional	hvis og kun hvis	p ↔ q = John er høj, hvis og kun hvis Mary er lav.

Dernæst opstilles en tabel med alle muligheder for værdiansættelse af et sammensat proposition, der erstatter bekræftelserne med symboler. Det er værd at præcisere, at i tilfælde, hvor der er mere end to propositioner, kan de symboliseres med bogstaverne r, s og så videre.

Endelig påføres den logiske operation, der er defineret af den viste forbindelse. Ifølge ovenstående liste kan disse operationer være: benægtelse, konjunktion, disjunktion, betinget og biconditional.

benægtelse

Denial er symboliseret af ~. Den logiske drift af benægtelse er den enkleste og dispenserer ofte brugen af sandtabellen. Efter samme eksempel, hvis John er høj (p) at sige at John ikke er høj (~ p) er FALSK, og omvendt.

sammenholdt

Sammenslutningen er symboliseret af ^ . Eksemplet "John er høj og Mary er lav" vil blive symboliseret af "p ^ q" og sandtabellen vil være:

Sammenhængen antyder en ide om akkumulering, så hvis en af de enkle propositioner er falsk, er det umuligt for sammensatte propositioner at være sandt.

Konklusion : Konjunktiv sammensatte propositioner (indeholdende forbindelses e ) vil kun være sande, når alle deres elementer er sande.

eksempel:

Paulo, Renato og Tulio er venlige og Caroline er sjov. - Hvis Paulo, Renato eller Tulio ikke er venlige eller Carolina ikke er sjovt, vil forslaget være FALSK. Det er nødvendigt, at alle oplysninger er sande, således at sammensatte forslag er SAND.

disjunktion

Disjunction er symboliseret af v . Udveksling af forbindelsen fra eksemplet ovenfor til eller vi vil have "John er høj eller Mary er lav". I dette tilfælde bliver sætningen symboliseret af "p v q" og sandtabellen vil være:

Disjunctionen indebærer en ide om veksling, så det er nok, at en af de enkle propositioner er sand, så at forbindelsen også er.

Konklusion : Disjunktive sammensatte propositioner (indeholdende eller forbindende) vil kun være falske, når alle deres elementer er falske.

eksempel:

Min mor, min far eller min onkel vil give mig en gave. - For erklæringen er SAND, er det nok, at kun en mellem moderen, far eller onkel giver nutiden. Forslaget vil kun være FALSK, hvis ingen af dem giver det.

betinget

Den betingede er symboliseret af →. Det udtrykkes af forbindelserne selv og derefter, som forbinder de simple propositioner i et årsagsforhold. Eksemplet "Hvis Paulo er Carioca, så er han brasiliansk" bliver "p → q" og sandtabellen vil være:

Conditionals har en antecedent og et konsekvensforslag , adskilt af forbindelsen derefter . I analysen af betingelserne er det nødvendigt at vurdere de tilfælde, hvor forslaget kan være muligt, i betragtning af forholdet mellem implikationer mellem antecedent og dermed.

Konklusion : Betingede sammensatte propositioner (der indeholder forbindelserne hvis og kun) vil kun være falske, hvis den første proposition er sand og den anden proposition er falsk.

eksempel:

Hvis Paulo er en Carioca, så er han brasiliansk. - For at dette forslag skal betragtes som TRUE, er det nødvendigt at vurdere de tilfælde, hvor det er muligt. Ifølge sandhedstabellen ovenfor har vi:

Paulo er brasiliansk / Paulo er brasiliansk = MULIG
Paulo er carioca / Paulo er ikke brasiliansk = umuligt
Paulo er ikke fra Carioca / Paulo er brasiliansk = MULIG
Paulo er ikke en Carioca / Paulo er ikke en brasiliansk = MULIG

Biconditional

Den biconditional er symboliseret af ↔. Det læses gennem forbindelserne, hvis og kun hvis de forbinder de simple propositioner med en ækvivalensrelation. Eksemplet "John er glad hvis og kun hvis Maria smiler." bliver "p ↔ q" og sandtabellen vil være:

Den biconditional foreslår en ide om indbyrdes afhængighed. Som navnet selv demonstrerer, er den tobetingede sammensætning sammensat af to betingelser: en der går fra p til q (p → q) og en anden i modsat retning (q → p).

Konklusion : Propositions sammensatte biconditional (der indeholder forbindelserne hvis og kun hvis ) vil kun være sandt, når alle forslag er sande, eller alle forslag er falske.

eksempel:

John er glad hvis og kun hvis Maria smiler. - Det betyder at:

Hvis John er glad, smiler Maria, og hvis Maria smiler, er John glad = SAND
Hvis João ikke er glad, smiler Maria ikke, og hvis Maria ikke smiler, er João ikke glad = SAND
Hvis John er glad, ler Maria ikke = FALSK
Hvis John ikke er glad, smiler Maria = FALSK

Generel oversigt

Det er almindeligt for lærde af sandtabellen at huske konklusionerne af hver af de logiske operationer. For at spare tid på problemløsning skal du altid huske på at:

Konjunktive Propositions: De vil kun være sande, når alle elementer er sande.
Disjunktive Propositions: De vil kun være falske, når alle elementer er falske.
Betingede Propositions: De vil kun være falske, når den første proposition er sand og den anden falsk.
Bicondicional Propositions: De vil kun være sande, når alle elementer er sande, eller alle elementer er falske.